1119. Смежные стороны параллелограмма равны a и b, а один его угол равен α. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними.

Диагонали параллелограмма являются суммой и разностью векторов его смежных сторон. По теореме косинусов:

\(d_1=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}\),

\(d_2=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}\).

Угол \(\varphi\) между диагоналями найдём из скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{a^2-b^2}{d_1d_2}\).

Следовательно,

\(\varphi=\arccos\left(\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}}\right)\).

Ответ: \(d_1=\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}\), \(d_2=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}\); угол между диагоналями определяется формулой выше.