1141. В коробке лежат 5 белых и 7 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) чёрный шар.

Общее количество шаров 5 + 7 = 12. Общее количество способов выбрать 3 шара из 12: \(C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\) 1) Событие А: среди трёх шаров хотя бы один белый. Событие \(\overline{A}\): среди трех шаров нет белых, то есть все три шара черные. Количество способов выбрать 3 черных шара из 7: \(C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). Вероятность вытащить 3 черных шара: \(P(\overline{A}) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}\). Тогда вероятность вытащить хотя бы один белый шар: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}\) 2) Событие B: среди трех шаров хотя бы один черный. Событие \(\overline{B}\): среди трех шаров нет черных, то есть все три шара белые. Количество способов выбрать 3 белых шара из 5: \(C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10\) Вероятность вытащить 3 белых шара: \(P(\overline{B}) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22}\). Тогда вероятность вытащить хотя бы один черный шар: \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{22} = \frac{21}{22}\) Ответ: 1) \(\frac{37}{44}\) 2) \(\frac{21}{22}\)