1142. В коробке лежат 6 белых и 5 красных шаров. Наугад вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один: 1) белый шар; 2) красный шар.

Общее количество шаров 6 + 5 = 11. Общее количество способов выбрать 4 шара из 11: \(C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330\). 1) Событие A: среди 4 шаров хотя бы один белый. Событие \(\overline{A}\): среди четырех шаров нет белых, то есть все четыре шара красные. Количество способов выбрать 4 красных шара из 5: \(C_5^4 = \frac{5!}{4!1!} = 5\). Вероятность вытащить 4 красных шара: \(P(\overline{A}) = \frac{5}{330} = \frac{1}{66}\). Тогда вероятность вытащить хотя бы один белый шар: \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{66} = \frac{65}{66}\) 2) Событие B: среди 4 шаров хотя бы один красный. Событие \(\overline{B}\): среди четырех шаров нет красных, то есть все четыре шара белые. Количество способов выбрать 4 белых шара из 6: \(C_6^4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\) Вероятность вытащить 4 белых шара: \(P(\overline{B}) = \frac{15}{330} = \frac{1}{22}\). Тогда вероятность вытащить хотя бы один красный шар: \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{22} = \frac{21}{22}\) Ответ: 1) \(\frac{65}{66}\) 2) \(\frac{21}{22}\)