1156. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах \(\vec a=5\vec p+2\vec q\) и \(\vec b=\vec p-3\vec q\), если \(|\vec p|=2\sqrt2\), \(|\vec q|=3\) и угол между \(\vec p\) и \(\vec q\) равен 45°.

Диагонали параллелограмма соответствуют векторам \(\vec a+\vec b=6\vec p-\vec q\) и \(\vec a-\vec b=4\vec p+5\vec q\).

Сначала найдём скалярное произведение: \(\vec p\cdot\vec q=|\vec p||\vec q|\cos45°=2\sqrt2\cdot3\cdot\frac{\sqrt2}{2}=6\).

\(|\vec a+\vec b|^2=36|\vec p|^2+|\vec q|^2-12(\vec p\cdot\vec q)=36\cdot8+9-72=225\), значит, \(|\vec a+\vec b|=15\).

\(|\vec a-\vec b|^2=16|\vec p|^2+25|\vec q|^2+40(\vec p\cdot\vec q)=16\cdot8+25\cdot9+240=608\), значит, \(|\vec a-\vec b|=4\sqrt{38}\).

Ответ: 15 и \(4\sqrt{38}\).