117. На рисунке 67 AB = BC, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.

Решение:

Дано: \( AB = BC \), \( CD = DE \).

Доказать: \( \angle BAC = \angle CED \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как \( AB = BC \), то треугольник ABC — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

2. Рассмотрим треугольник CDE. Так как \( CD = DE \), то треугольник CDE — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: \( \angle DCE = \angle DEC \).

3. Обратим внимание на углы \( \angle BCA \) и \( \angle DCE \). Это вертикальные углы, поэтому они равны: \( \angle BCA = \angle DCE \).

4. Теперь можем связать все равенства:

Так как \( \angle BAC = \angle BCA \) (из п.1) и \( \angle BCA = \angle DCE \) (из п.3) и \( \angle DCE = \angle DEC \) (из п.2), то по свойству транзитивности:

\( \angle BAC = \angle DEC \).

Ответ: Доказано.