119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектрисы, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

Решение:

Дано: \( \triangle DEK \) — равнобедренный с основанием DK, \( EF \) — биссектриса, \( DK = 16 \) см, \( \angle DEF = 43^{\circ} \).

Найти: \( KF \), \( \angle DEK \), \( \angle EFD \).

1. Найдем \( \angle DEK \):

В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK, углы при основании равны: \( \angle DEK = \angle DKE \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( \angle DEK + \angle DKE + \angle E = 180^{\circ} \).

Поскольку \( EF \) — биссектриса угла \( \angle DEK \), то \( \angle DEF = \angle KEF = 43^{\circ} \). Значит, \( \angle DEK = \angle DEF + \angle KEF = 43^{\circ} + 43^{\circ} = 86^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle DEK = \angle DKE = 86^{\circ} \).

2. Найдем \( \angle EFD \):

Сумма углов в \( \triangle DEF \) равна \( 180^{\circ} \): \( \angle EDF + \angle DEF + \angle EFD = 180^{\circ} \).

Угол \( \angle EDF \) равен углу \( \angle D \) треугольника DEK, который равен \( 86^{\circ} \).

\( 86^{\circ} + 43^{\circ} + \angle EFD = 180^{\circ} \)

\( 129^{\circ} + \angle EFD = 180^{\circ} \)

\( \angle EFD = 180^{\circ} - 129^{\circ} = 51^{\circ} \).

3. Найдем \( KF \):

В равнобедренном треугольнике DEK, биссектриса \( EF \) к основанию DK является также медианой и высотой. Следовательно, она делит основание DK пополам.

\( KF = FD = \frac{DK}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.

Ответ: \( KF = 8 \) см, \( \angle DEK = 86^{\circ} \), \( \angle EFD = 51^{\circ} \).