120. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB отмечены соответственно точки E и F так, что AE = CF. Докажите, что а) ΔBDE = ∆BDF; б) △ADE = △CDF.

Question

Вопрос:

Фото задания

120. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена медиана BD. На сторонах AB и CB отмечены соответственно точки E и F так, что AE = CF. Докажите, что а) ΔBDE = ∆BDF; б) △ADE = △CDF.

Accepted Answer

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием AC, BD — медиана, E на AB, F на CB, \( AE = CF \).

Доказать: а) \( \triangle BDE = \triangle BDF \); б) \( \triangle ADE = \triangle CDF \).

а) Доказательство равенства треугольников BDE и BDF:

1. \( AB = CB \) — так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC.

2. \( AE = CF \) — по условию.

3. \( BE = AB - AE \) и \( BF = CB - CF \). Так как \( AB = CB \) и \( AE = CF \), то \( BE = BF \).

4. \( \angle B \) — общий для \( \triangle ABC \) и \( \triangle BDE \), \( \triangle BDF \).

5. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle BDE = \triangle BDF \) (по сторонам BE=BF, углу B и стороне BD, так как BD — медиана в равнобедренном треугольнике, и она является биссектрисой и высотой, значит \( BD \) — ось симметрии).

б) Доказательство равенства треугольников ADE и CDF:

1. \( AD = CD \) — так как BD — медиана равнобедренного \( \triangle ABC \) к основанию AC, значит BD делит основание пополам.

2. \( AE = CF \) — по условию.

3. \( \angle A = \angle C \) — так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием AC.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle ADE = \triangle CDF \).

Ответ: Доказано.