118. На основании BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и N так, что BM = CN. Докажите, что: а) ΔBAM = ΔCAN; б) треугольник AMN равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием BC, \( M, N \) — точки на BC, \( BM = CN \).

Доказать: а) \( \triangle BAM = \triangle CAN \); б) \( \triangle AMN \) — равнобедренный.

а) Доказательство равенства треугольников BAM и CAN:

1. \( \angle B = \angle C \) — так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием BC.

2. \( AB = AC \) — так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием BC.

3. \( BM = CN \) — по условию.

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle BAM = \triangle CAN \).

б) Доказательство, что треугольник AMN равнобедренный:

Из равенства треугольников \( \triangle BAM = \triangle CAN \) следует равенство соответствующих сторон: \( AM = AN \).

Так как две стороны треугольника AMN равны, то \( \triangle AMN \) — равнобедренный.

Ответ: Доказано.