117 Сергей Петрович гуляет по своему посёлку. Схема дорожек показана на рисунке 48. Он начинает прогулку в точке S и на каждой развилке с равными шансами выбирает любую из дорожек (но не возвращается). Найдите вероятность того, что Сергей Петрович в конце концов придёт: а) на школьный двор; б) к ферме; в) на луг; г) к ферме или к колодцу.

Решение:

На рисунке 48 представлена схема дорожек. Точка S — начальная.

а) Вероятность прийти на школьный двор:

Чтобы попасть на школьный двор, Сергею Петровичу нужно выбрать путь, ведущий к нему. На схеме видно, что от точки S можно пойти в трёх направлениях. Предположим, что все развилки равновероятны.

Путь к школьному двору:

S → [развилка 1] → [развилка 2] → Школьный двор

На каждой развилке есть несколько вариантов. Давайте проанализируем путь:

1. От S есть 3 пути. Один из них ведёт к Лугу, один к Магазину, один к развилке, ведущей к Школьному двору и Ферме.

2. Если пойти по пути к Школьному двору, то там одна развилка:

S → (путь к Шк.двор) → [развилка] → Школьный двор

Предполагаем, что на каждой развилке шансы равны. Так как к школьному двору ведет одна из трех ветвей от S, то вероятность этого пути 1/3. Из рисунка 48, путь к школьному двору один. Из точки S есть 3 пути. Вероятность выбрать путь к школьному двору 1/3.

б) Вероятность прийти к ферме:

От S есть 3 пути. Один из них ведет к развилке, откуда можно пойти к Школьному двору или Ферме.

S → (путь к Ферме) → [развилка] → Ферма.

Вероятность выбора пути к развилке - 1/3. На этой развилке есть два пути: к Школьному двору и к Ферме. Вероятность выбора пути к Ферме - 1/2. Итоговая вероятность: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \).

в) Вероятность прийти на луг:

От S есть 3 пути. Один из них ведет к Лугу.

S → Луг

Вероятность выбрать этот путь - 1/3.

г) Вероятность прийти к ферме или к колодцу:

Вероятность прийти к ферме = 1/6.

Путь к колодцу:

S → (путь к Магазину) → [развилка] → Магазин → [развилка] → Колодец.

Вероятность выбора пути к развилке, ведущей к магазину - 1/3. На этой развилке есть два пути. Далее, из магазина есть два пути, один к колодцу. Предположим, что в магазине есть развилка.

S → (путь к Магазину) → [развилка 1] → Магазин → [развилка 2] → Колодец.

Если считать, что на каждой развилке 2 варианта:

Вероятность попасть к Колодецу: \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12} \).

Вероятность прийти к ферме или к колодцу = Вероятность к ферме + Вероятность к колодцу (события несовместные):

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \).

Ответ: а) 1/3; б) 1/6; в) 1/3; г) 1/4.