119 Из ящика, где хранятся 9 жёлтых и 15 зелёных карандашей, продавец не глядя вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, что: а) 2 первых карандаша окажутся зелёными; б) все 3 карандаша будут жёлтые; в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

Решение:

Всего карандашей в ящике: \( 9 + 15 = 24 \).

Продавец вынимает 3 карандаша без возвращения.

а) Вероятность, что 2 первых карандаша окажутся зелёными:

Вероятность, что первый карандаш зелёный: \( P(1\text{з}) = \frac{15}{24} \).

После того, как вынули один зелёный карандаш, осталось 23 карандаша, из них 14 зелёных.

Вероятность, что второй карандаш зелёный: \( P(2\text{з} | 1\text{з}) = \frac{14}{23} \).

Третий карандаш может быть любого цвета. Нас интересует только первые два.

Вероятность, что первые два карандаша зелёные: \( P(\text{1з и 2з}) = P(1\text{з}) \times P(2\text{з} | 1\text{з}) = \frac{15}{24} \times \frac{14}{23} \).

\( \frac{15}{24} \times \frac{14}{23} = \frac{5}{8} \times \frac{14}{23} = \frac{5 \times 7}{4 \times 23} = \frac{35}{92} \).

б) Вероятность, что все 3 карандаша будут жёлтые:

Вероятность, что первый карандаш жёлтый: \( P(1\text{ж}) = \frac{9}{24} \).

Осталось 23 карандаша, из них 8 жёлтых.

Вероятность, что второй карандаш жёлтый: \( P(2\text{ж} | 1\text{ж}) = \frac{8}{23} \).

Осталось 22 карандаша, из них 7 жёлтых.

Вероятность, что третий карандаш жёлтый: \( P(3\text{ж} | 1\text{ж}, 2\text{ж}) = \frac{7}{22} \).

Вероятность, что все 3 карандаша жёлтые: \( P(\text{1ж, 2ж, 3ж}) = \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} \).

\( \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3}{8} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{21}{506} \).

в) Вероятность, что цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый:

Вероятность, что первый карандаш жёлтый: \( P(1\text{ж}) = \frac{9}{24} \).

Осталось 23 карандаша, из них 15 зелёных.

Вероятность, что второй карандаш зелёный: \( P(2\text{з} | 1\text{ж}) = \frac{15}{23} \).

Осталось 22 карандаша, из них 8 жёлтых.

Вероятность, что третий карандаш жёлтый: \( P(3\text{ж} | 1\text{ж}, 2\text{з}) = \frac{8}{22} \).

Вероятность чередования Ж-З-Ж: \( P(\text{Ж-З-Ж}) = \frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} \).

\( \frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} = \frac{3}{8} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} = \frac{3 \times 15}{23 \times 22} = \frac{45}{506} \).

Ответ: а) 35/92; б) 21/506; в) 45/506.