118 В группе 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные — девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.

Решение:

Всего человек в группе: 18.

Мальчиков: 7.

Девочек: 18 - 7 = 11.

Всего возможных перестановок (способов построиться в шеренгу): \( 18! \).

Случай 1: На концах шеренги два мальчика.

Количество способов выбрать 2 мальчиков на конца шеренги: \( P(7, 2) = 7 \times 6 = 42 \).

Оставшиеся 16 человек (5 мальчиков и 11 девочек) могут располагаться в середине шеренги \( 16! \) способами.

Количество перестановок с мальчиками на концах: \( 42 \times 16! \).

Случай 2: На концах шеренги две девочки.

Количество способов выбрать 2 девочек на конца шеренги: \( P(11, 2) = 11 \times 10 = 110 \).

Оставшиеся 16 человек (7 мальчиков и 9 девочек) могут располагаться в середине шеренги \( 16! \) способами.

Количество перестановок с девочками на концах: \( 110 \times 16! \).

Общее количество благоприятных исходов:

Суммируем случаи, так как они несовместные: \( 42 \times 16! + 110 \times 16! = (42 + 110) \times 16! = 152 \times 16! \).

Вероятность события:

\( P(\text{два мальчика или две девочки на концах}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{152 \times 16!}{18!} \).

Упростим факториалы:

\( \frac{152 \times 16!}{18 \times 17 \times 16!} = \frac{152}{18 \times 17} = \frac{152}{306} \).

Сократим дробь:

\( \frac{152}{306} = \frac{76}{153} \).

Ответ: 76/153.