118. Доказать, что \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2\).

Заметим, что \((\sqrt{2}+1)^3=7+5\sqrt{2}\), поскольку \((\sqrt{2}+1)^2=3+2\sqrt{2}\), а \((3+2\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)=7+5\sqrt{2}\).

Аналогично, \((\sqrt{2}-1)^3=7-5\sqrt{2}\). Так как оба числа \(\sqrt{2}+1\) и \(\sqrt{2}-1\) положительны, соответствующие кубические корни равны этим числам.

Следовательно, \(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\). Что и требовалось доказать.