118. Точки M и P [начало условия обрезано]. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка O — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

Начало условия обрезано; используем читаемые данные и стандартное для этой задачи расположение точек M и P по одну сторону от прямой b.

1. Треугольники MNO и PQO прямоугольные: MN ⟂ b, PQ ⟂ b. По условию MN = PQ, а так как O — середина NQ, то ON = OQ. Следовательно, треугольники MNO и PQO равны по двум катетам, поэтому OM = OP.
2. В треугольнике MOP равные стороны OM и OP лежат напротив равных углов, значит, ∠OMP = ∠OPM.
3. Поскольку MN и PQ перпендикулярны одной прямой и равны, точки M и P находятся на одинаковом расстоянии от b, поэтому MP ∥ b. Из равенства углов при основании и ∠MOP = 105° получаем ∠OMP = ∠OPM = (180° − 105°) / 2 = 37,5°.
4. ON лежит на прямой b, а OM образует с направлением ON угол, равный 37,5°; следовательно, ∠NOM = 37,5°.

Ответ: а) ∠OMP = ∠OPM; б) ∠NOM = 37,5°.