12. (1 балл) Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону m(t) = m₀ · 2⁻ᵗ/ᵀ. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m₀ = 12 мг изотопа натрия-24, период полураспада которого равен Т = 15 ч. В течение скольких часов содержание натрия 24 в веществе будет превосходить 3 мг?

Дано:

• Закон распада: m(t) = m₀ · 2⁻ᵗ/ᵀ
• Начальная масса m₀ = 12 мг.
• Период полураспада T = 15 ч.
• Требуемая масса > 3 мг.

Найти: Время t (в часах), в течение которого m(t) > 3 мг.

Решение:

1. Подставим известные значения в формулу закона распада: m(t) = 12 · 2⁻ᵗ/¹⁵.
2. Нам нужно найти t, при котором m(t) > 3 мг.
3. Составим неравенство: 12 · 2⁻ᵗ/¹⁵ > 3.
4. Разделим обе части неравенства на 12: 2⁻ᵗ/¹⁵ > 3/12.
5. Упростим дробь: 2⁻ᵗ/¹⁵ > 1/4.
6. Представим 1/4 как степень двойки: 1/4 = (1/2)² = 2⁻².
7. Теперь неравенство выглядит так: 2⁻ᵗ/¹⁵ > 2⁻².
8. При сравнении степеней с одинаковым основанием (большим 1), знак неравенства сохраняется. Однако, так как основание 2, а показатели отрицательные, то при сравнении показателей знак неравенства нужно поменять на противоположный:
• -t/15 > -2
9. Умножим обе части неравенства на -15, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:
• t < (-2) * (-15)
• t < 30
10. Итак, масса вещества будет превосходить 3 мг в течение времени t < 30 часов.

Ответ: В течение 30 часов