9. (1 балл) В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания АВС пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде точка пересечения медиан основания \( O \) является центром основания. Высота пирамиды \( SO \) перпендикулярна основанию.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \), где \( V \) — объем, \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Из условия известно:

• \( V = 6 \)
• \( S_{осн} = S_{ABC} = 4 \)

Найдем высоту пирамиды \( h = SO \):

\[ 6 = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot h \]\[ 18 = 4h \]\[ h = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \]

Таким образом, длина отрезка \( OS \) равна высоте пирамиды.

Ответ: 4.5.