18. (2 балла) В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра..

Решение:

1. Обозначения:
• Пусть сторона основания правильной треугольной призмы равна a, а высота призмы (и вписанного цилиндра) равна h.
• Площадь боковой поверхности призмы S_призмы = Периметр основания * Высота = (3a) * h.
• Площадь боковой поверхности цилиндра S_{цилиндра} = 2πrh, где r — радиус основания цилиндра.
2. Связь между призмой и цилиндром:
• Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Это означает, что окружность основания цилиндра вписана в основание призмы (равносторонний треугольник).
• Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной a, равен: \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\).
3. Выразим площадь боковой поверхности цилиндра через 'a' и 'h':
• S_{цилиндра} = 2π * \(\frac{a}{2\sqrt{3}}\)* h = \(\frac{\pi a h}{\sqrt{3}}\).
4. Выразим площадь боковой поверхности призмы через 'a' и 'h':
• S_призмы = 3ah.
5. Найдем отношение площадей:
• \(\frac{S_{цилиндра}}{S_{призмы}} = \frac{\frac{\pi a h}{\sqrt{3}}}{3ah} = \frac{\pi a h}{3\sqrt{3} a h} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\).
6. Выразим площадь боковой поверхности цилиндра:
• S_{цилиндра} = S_призмы * \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\) = S * \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\).
7. Можно также рационализировать знаменатель: \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9}\).

Ответ: \(S_{цилиндра} = \frac{\pi S \sqrt{3}}{9}\)