14. (1балл) Найдите наименьшее значение функции y = 8x² - x³ + 13 на отрезке [-5;5]

Решение:

1. Найдем производную функции:
• \(y' = (8x^2 - x^3 + 13)' = 16x - 3x^2\)
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
• \(16x - 3x^2 = 0\)
• \(x(16 - 3x) = 0\)
• Следовательно, \(x_1 = 0\) и \(16 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 16 \Rightarrow x_2 = 16/3\).
3. Определим, какие критические точки принадлежат отрезку [-5; 5]:
• \(x_1 = 0\) принадлежит отрезку [-5; 5].
• \(x_2 = 16/3 \approx 5.33\) не принадлежит отрезку [-5; 5].
4. Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
• При \(x = -5\): \(y = 8(-5)^2 - (-5)^3 + 13 = 8(25) - (-125) + 13 = 200 + 125 + 13 = 338\)
• При \(x = 0\): \(y = 8(0)^2 - (0)^3 + 13 = 0 - 0 + 13 = 13\)
• При \(x = 5\): \(y = 8(5)^2 - (5)^3 + 13 = 8(25) - 125 + 13 = 200 - 125 + 13 = 75 + 13 = 88\)
• Сравним полученные значения: 338, 13, 88.
• Наименьшее значение равно 13.

Ответ: 13