№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в O; AO = OC, BO = OD. ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°, CD = 10. Найти BC и отмеченный угол при O.

Так как диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. Следовательно, AB ∥ CD.

Из параллельности AB и CD следует, что ∠ACD = ∠BAC = 42°. В треугольнике COD угол OCD равен 42°, а угол CDO равен ∠BDC = 48°. Поэтому ∠COD = 180° − 42° − 48° = 90°.

Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб, значит все его стороны равны. Так как CD = 10, то BC = 10. Отмеченный угол при пересечении диагоналей равен 90°.

Ответ: BC = 10, отмеченный угол при O равен 90°.