№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в O; BO = OD, AO = OC, CD = 10, ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°. Найти отмеченные BC и угол между диагоналями.

Поскольку диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. В нём AB ∥ CD, поэтому ∠ABO = ∠BDC = 48° (накрест лежащие углы).

В треугольнике ABO угол BAO равен ∠BAC = 42°. Тогда ∠AOB = 180° − 42° − 48° = 90°. Значит, диагонали параллелограмма перпендикулярны, а такой параллелограмм является ромбом.

Все стороны ромба равны, поэтому BC = CD = 10.

Ответ: BC = 10, угол между диагоналями равен 90°.