№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OC, BO = OD. CD = 10, ∠BAC = 42°, ∠BDC = 48°. Найти BC и отмеченный угол между диагоналями.

Поскольку диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. В треугольнике COD углы при C и D равны соответственно 42° и 48°: CD параллельна AB, а CO лежит на AC; DO лежит на DB. Поэтому ∠COD = 180° − 42° − 48° = 90°. Отмеченный угол между диагоналями также равен 90°.

В прямоугольном треугольнике COD гипотенуза CD равна 10. По свойству параллелограмма AO = OC и BO = OD, следовательно, AC = 2OC и BD = 2OD. Так как диагонали перпендикулярны, треугольник BOC прямоугольный, и его катеты равны AC/2 и BD/2. Поэтому BC = √(OC² + OD²) · 2. Из треугольника COD: OC = 10 sin 48°, OD = 10 sin 42°. Тогда BC = 20√(sin²48° + sin²42°); это не следует считать равным 10, поскольку sin²48° + sin²42° не равно 1 в общем случае.

Ответ: угол между диагоналями — 90°; BC = 20√(sin²48° + sin²42°) ≈ 14,86.