№ 12. ABCD — четырёхугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OC, BO = OD, CD = 10, ∠BAC = 42°, ∠CDB = 48°. Найти BC и ∠AOB.

Так как диагонали делятся точкой O пополам, ABCD — параллелограмм. В треугольнике COD угол OCD равен ∠BAC = 42°, поскольку AB ∥ CD, а угол CDO равен ∠CDB = 48°.

Тогда ∠COD = 180° − 42° − 48° = 90°. Диагонали параллелограмма перпендикулярны, значит, ABCD — ромб. Все его стороны равны, поэтому BC = CD = 10.

Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, следовательно, ∠AOB = 90°.

Ответ: BC = 10, ∠AOB = 90°.