12. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 105°, угол CAD равен 29°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Краткое пояснение:

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Четырехугольник ABCD вписан в окружность.
2. Шаг 2: Противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180°.
3. Шаг 3: ∠ABC + ∠ADC = 180°.
4. Шаг 4: Подставляем известное значение ∠ABC: 105° + ∠ADC = 180°.
5. Шаг 5: Находим ∠ADC: ∠ADC = 180° - 105° = 75°.
6. Шаг 6: Угол ∠ADC состоит из углов ∠ADB и ∠BDC. \( ext{∠ADC} = ext{∠ADB} + ext{∠BDC} \).
7. Шаг 7: Угол ∠ABD и угол ∠ACD опираются на одну и ту же дугу AD. Следовательно, ∠ABD = ∠ACD.
8. Шаг 8: Угол ∠CAD и угол ∠CBD опираются на одну и ту же дугу CD. Следовательно, ∠CBD = ∠CAD = 29°.
9. Шаг 9: Угол ∠ACD и угол ∠ABD опираются на одну и ту же дугу AD.
10. Шаг 10: Угол ∠BDC и угол ∠BAC опираются на одну и ту же дугу BC.
11. Шаг 11: Угол ∠CAD = 29°.
12. Шаг 12: Рассмотрим угол ∠ADC = 75°. Он состоит из ∠ADB и ∠BDC.
13. Шаг 13: Также, ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC.
14. Шаг 14: Угол ∠ABC = 105°. Он состоит из ∠ABD + ∠CBD.
15. Шаг 15: \( ext{∠ABC} = ext{∠ABD} + ext{∠CBD} \).
16. Шаг 16: Мы знаем ∠ABC = 105° и ∠CBD = 29° (так как он равен ∠CAD).
17. Шаг 17: Подставляем значения: \( 105° = ext{∠ABD} + 29° \).
18. Шаг 18: Находим ∠ABD: \( ext{∠ABD} = 105° - 29° = 76° \).

Ответ: 76