Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 12. Дано: \(AA_1=AB\), \(AM=MD\), \(D_1N=NC_1\), \(MN=\sqrt6\). Найдите объём призмы.Фото задания

Ответ:

По условию высота призмы равна стороне квадратного основания. Обозначим их общую длину через \(a\). Тогда \(AD=a\), а \(M\) — середина \(AD\). Точка \(N\) — середина \(D_1C_1\).

  1. Расположим точки в координатах: \(A=(0,0,0)\), \(D=(a,0,0)\), \(C=(a,a,0)\), \(D_1=(a,0,a)\), \(C_1=(a,a,a)\). Тогда \(M=(a/2,0,0)\), \(N=(a,a/2,a)\).
  2. Разность координат точек \(M,N\) равна \((a/2,a/2,a)\). Поэтому \(MN^2=a^2/4+a^2/4+a^2=3a^2/2\).
  3. Так как \(MN=\sqrt6\), имеем \(6=3a^2/2\), откуда \(a^2=4\) и \(a=2\).
  4. Объём призмы \(V=a^2\cdot a=a^3=8\).

Ответ: 8.