2. Дано: \(A_1D=4\), \(B_1D=5\). Найдите объём правильной четырёхугольной призмы \(ABCD A_1B_1C_1D_1\).

Основание правильной четырёхугольной призмы — квадрат. Обозначим его сторону через \(a\), а высоту призмы через \(h\).

1. Отрезок \(A_1D\) — диагональ боковой грани со сторонами \(a\) и \(h\), поэтому \(a^2+h^2=4^2=16\).
2. Отрезок \(B_1D\) — пространственная диагональ призмы. Её горизонтальная проекция — диагональ квадрата длины \(a\sqrt2\), поэтому \(2a^2+h^2=5^2=25\).
3. Вычитая первое равенство из второго, получаем \(a^2=9\), значит, \(a=3\). Тогда \(h^2=16-9=7\), то есть \(h=\sqrt7\).
4. Объём: \(V=a^2h=9\sqrt7\).

Ответ: \(9\sqrt7\).