6. Дано: \(AB=2\sqrt2\), \(\angle(DB_1,(ABC))=45^\circ\). Найдите объём призмы.

Основание — квадрат со стороной \(AB=2\sqrt2\). Проекция пространственной диагонали \(DB_1\) на плоскость основания — диагональ \(DB\) квадрата.

1. Диагональ основания равна \(DB=AB\sqrt2=4\).
2. Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией. В прямоугольном треугольнике \(DBB_1\): \(\tan45^\circ=BB_1/DB\), значит, высота \(BB_1=4\).
3. Площадь основания равна \((2\sqrt2)^2=8\). Поэтому \(V=8\cdot4=32\).

Ответ: 32.