Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 8. Дано: \(AB=2\sqrt2\), \(\angle(AC_1,B_1D)=60^\circ\). Найдите объём призмы.Фото задания

Ответ:

Пусть сторона квадратного основания равна \(a=AB=2\sqrt2\), высота призмы равна \(h\). Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(D=(a,0,0)\), \(B=(0,a,0)\), \(C_1=(a,a,h)\), \(B_1=(0,a,h)\).

  1. Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AC_1}=(a,a,h)\), \(\overrightarrow{B_1D}=(a,-a,-h)\).
  2. Их скалярное произведение равно \(a^2-a^2-h^2=-h^2\), а длина каждого вектора равна \(\sqrt{2a^2+h^2}\). По формуле косинуса угла между прямыми: \(\frac{h^2}{2a^2+h^2}=\cos60^\circ=\frac12\).
  3. Отсюда \(2h^2=2a^2+h^2\), значит, \(h^2=2a^2=16\), поэтому \(h=4\).
  4. Объём: \(V=a^2h=8\cdot4=32\).

Ответ: 32.