12. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Теорема об углах при основании равнобедренного треугольника

Теорема:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник △ABC, у которого AB = AC (AB и AC — боковые стороны, BC — основание).

Дано:

• △ABC — равнобедренный.
• AB = AC.

Доказать:

∠B = ∠C (углы при основании равны).

Доказательство (с использованием первого признака равенства треугольников):

1. Проведём биссектрису AD угла A, где точка D лежит на стороне BC.
2. По построению, ∠BAD = ∠CAD.
3. Рассмотрим два треугольника: △ABD и △ACD.
4. У них:
• AB = AC (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• ∠BAD = ∠CAD (по построению, так как AD — биссектриса).
• AD — общая сторона для обоих треугольников.
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △ABD = △ACD.
6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Следовательно, ∠B = ∠C.

Вывод: Углы при основании равнобедренного треугольника равны, что и требовалось доказать.