4 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника: $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$.

Пусть $$AB = A_1B_1$$, $$AC = A_1C_1$$ и $$\angle A = \angle A_1$$.

Перенесём $$\triangle ABC$$ так, чтобы вершина $$A$$ совпала с вершиной $$A_1$$, а сторона $$AB$$ легла на сторону $$A_1B_1$$. Так как $$AB = A_1B_1$$, то точка $$B$$ совпадёт с точкой $$B_1$$.

Так как $$\angle A = \angle A_1$$, то сторона $$AC$$ ляжет на сторону $$A_1C_1$$. Так как $$AC = A_1C_1$$, то точка $$C$$ совпадёт с точкой $$C_1$$.

Следовательно, $$\triangle ABC$$ полностью совпадёт с $$\triangle A_1B_1C_1$$. Значит, $$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$.