4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Теорема:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть у нас есть два треугольника: △ABC и △A₁B₁C₁.

Дано:

• AB = A₁B₁ (стороны равны)
• AC = A₁C₁ (стороны равны)
• ∠A = ∠A₁ (углы между этими сторонами равны)

Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁

Доказательство от противного (методом наложения):

1. Возьмём △ABC и наложим его на △A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, а сторона AB легла на сторону A₁B₁.
2. Так как AB = A₁B₁, то точка B совпадёт с точкой B₁.
3. Так как ∠A = ∠A₁, то сторона AC ляжет на сторону A₁C₁.
4. Так как AC = A₁C₁, то точка C совпадёт с точкой C₁.
5. Поскольку все вершины одного треугольника совпали с соответствующими вершинами другого, треугольники △ABC и △A₁B₁C₁ являются равными.

Вывод: Первый признак равенства треугольников доказан.