6. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой

Теорема:

Из точки, не лежащей на данной прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Доказательство:

Пусть дана прямая m и точка A, не лежащая на ней.

Дано:

• Прямая m.
• Точка A, не лежащая на m.
• Отрезок AH — перпендикуляр из A к m (AH ⊥ m), где H — основание перпендикуляра.

Доказать:

Что существует только один такой перпендикуляр.

Доказательство (методом от противного):

1. Предположим, что из точки A можно провести к прямой m два разных перпендикуляра: AH₁ и AH₂.
2. Пусть H₁ и H₂ — основания этих перпендикуляров, лежащие на прямой m.
3. Рассмотрим треугольник △AH₁H₂.
4. По условию, AH₁ ⊥ m, значит, ∠AH₁H₂ = 90°.
5. Также по условию, AH₂ ⊥ m, значит, ∠AH₂H₁ = 90°.
6. В треугольнике △AH₁H₂ мы имеем два прямых угла: ∠AH₁H₂ и ∠AH₂H₁.
7. Сумма углов треугольника равна 180°. Если два угла равны 90°, то третий угол (∠H₁AH₂) должен быть равен 180° - 90° - 90° = 0°.
8. Угол, равный 0°, означает, что точки A, H₁ и H₂ лежат на одной прямой. Но это противоречит условию, что точка A не лежит на прямой m (а значит, не лежит на прямой H₁H₂).
9. Таким образом, наше предположение о существовании двух перпендикуляров неверно.

Вывод: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.