6 Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой.

Теорема о перпендикуляре, проведённом из точки к прямой:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

Доказательство:

Пусть дана точка $$A$$ и прямая $$l$$, не содержащая точку $$A$$. Предположим, что из точки $$A$$ к прямой $$l$$ можно провести два различных перпендикуляра: $$AB$$ и $$AC$$, где $$B$$ и $$C$$ — точки на прямой $$l$$, причем $$B
e C$$.

Тогда $$\angle ABC = 90^{\circ}$$ и $$\angle ACB = 90^{\circ}$$ (по условию, $$AB$$ и $$AC$$ — перпендикуляры).

Рассмотрим $$\triangle ABC$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$.

$$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$$

$$90^{\circ} + 90^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$$

$$180^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$$

$$\angle BAC = 0^{\circ}$$

Это означает, что точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, что противоречит условию, что $$A$$ — точка, не лежащая на прямой $$l$$ (а значит, $$A, B, C$$ не могут лежать на одной прямой).

Следовательно, предположение о существовании двух различных перпендикуляров неверно. Значит, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.