15. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть у нас есть два треугольника: △ABC и △A₁B₁C₁.

Дано:

Доказать: △ABC = △A₁B₁C₁

Доказательство (методом наложения):

Наложим △ABC на △A₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совпала со стороной A₁B₁, а вершины A и B совпали с A₁ и B₁ соответственно.
Так как AB = A₁B₁, то точки A и B совмещаются с A₁ и B₁.
Рассмотрим два случая для расположения точки C относительно отрезка A₁B₁:
Случай 1: Точки C и C₁ лежат по разные стороны от прямой A₁B₁.

Проведём отрезок CC₁.
Рассмотрим треугольники △A₁CC₁ и △B₁CC₁.
A₁C = AC (по условию).
B₁C = BC (по условию).
CC₁ — общая сторона.
Треугольники △A₁CC₁ и △B₁CC₁ равны по трём сторонам (третий признак).
Значит, ∠A₁CC₁ = ∠B₁CC₁ и ∠A₁C₁C = ∠B₁C₁C.
Из равенства треугольников △ABC и △A₁B₁C₁ (по трём сторонам, так как AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, AB=A₁B₁) следует, что ∠ACB = ∠A₁C₁B₁.
∠ACB = ∠A₁CC₁ + ∠B₁CC₁.
∠A₁C₁B₁ = ∠A₁CC₁ + ∠B₁CC₁.
Это доказывает равенство треугольников.

Этот случай рассматривается аналогично, но требует дополнительных построений и рассуждений (например, через равенство углов при основании равнобедренных треугольников).
Более простое доказательство этого случая заключается в следующем:
Предположим, что C не совпадает с C₁. Тогда AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.
Рассмотрим точку C. Она равноудалена от A₁ и B₁.
Рассмотрим точку C₁. Она также равноудалена от A₁ и B₁.
Это означает, что точки C и C₁ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку A₁B₁.
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр (и, соответственно, один серединный перпендикуляр).
Следовательно, точки C и C₁ должны совпадать.

Если точки C и C₁ совпадают, то треугольники △ABC и △A₁B₁C₁ полностью совпадают.

Вывод: Третий признак равенства треугольников доказан.

Ответ: