12. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Задание 12

Обозначим:

• \( x \) — время, за которое первый оператор набирает весь текст (в часах).
• \( y \) — время, за которое второй оператор набирает весь текст (в часах).

Производительность первого оператора: \( \frac{1}{x} \) (текста в час).

Производительность второго оператора: \( \frac{1}{y} \) (текста в час).

Из первого условия:

Работая вместе, они набирают текст за 8 часов. Значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{8} \).

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \] (Уравнение 1)

Из второго условия:

Первый оператор работает 3 часа, второй — 12 часов, и они выполняют 75% работы (или \( \frac{3}{4} \) работы).

\[ 3 × \frac{1}{x} + 12 × \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{3}{x} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \] (Уравнение 2)

Теперь решим систему уравнений.

Из Уравнения 1 выразим \( \frac{1}{x} \):

\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{y} = \frac{y - 8}{8y} \]

Подставим это в Уравнение 2:

\[ 3 × \frac{y - 8}{8y} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{3y - 24}{8y} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( 8y \):

\[ \frac{3y - 24}{8y} + \frac{12 × 8}{y × 8} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{3y - 24 + 96}{8y} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{3y + 72}{8y} = \frac{3}{4} \]

Теперь можно крест-накрест:

\[ 4(3y + 72) = 3(8y) \]

\[ 12y + 288 = 24y \]

\[ 288 = 24y - 12y \]

\[ 288 = 12y \]

\[ y = \frac{288}{12} = 24 \]

Теперь найдем \( x \), подставив \( y = 24 \) в Уравнение 1:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8} \]

\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \]

Приведем к общему знаменателю 24:

\[ \frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} \]

\[ x = 12 \]

Итак, первый оператор набирает текст за 12 часов, а второй — за 24 часа.

Ответ: Первый оператор — 12 часов, второй оператор — 24 часа.