12. (М/М-49.3) Решить уравнения: (a) \(\arcsin x-\arcctg x=0\); (b) \(\arccos x=\arctg x\).

Используем стандартный диапазон значений \(\arcctg x\in(0,\pi)\).

(a) Равенство требует, чтобы \(\arcsin x=\arcctg x\). Общий диапазон значений этих углов вынуждает \(x>0\). Обозначим общий угол через \(\theta\). Тогда \(\sin\theta=x\), а \(\ctg\theta=x\), значит \(\cos\theta=x^2\). Из тождества \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) следует \(x^2+x^4=1\). Поскольку \(x>0\), получаем \(x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}\). Подстановка в соотношения для синуса и котангенса подтверждает равенство.

(b) Общий угол \(\arccos x=\arctg x\) должен быть неотрицательным, поэтому \(x>0\). Обозначим его через \(\theta\). Тогда \(\cos\theta=x\), \( g\theta=x\), откуда \(\sin\theta=x^2\). Тождество \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) снова даёт \(x^4+x^2=1\). С учётом \(x>0\), \(x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}\); это значение удовлетворяет исходному равенству.

Ответ: (a), (b) \(x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}\).