15. (М/М-49.5) Решить уравнение \(\arctg(x-1)+\arctg x+\arctg(x+1)=\arctg 3x\).

Обозначим левую часть через \(L\). Для тангенса суммы трёх углов числитель равен \((x-1)+x+(x+1)-(x-1)x(x+1)=4x-x^3\), а знаменатель — \(1-((x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1))=2-3x^2\). При решении исходного уравнения \(\cos L\ne0\), поскольку \(L=\arctg3x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\). Поэтому можно приравнять тангенсы:

\(\frac{4x-x^3}{2-3x^2}=3x\), откуда \(4x-x^3=6x-9x^3\), то есть \(2x(4x^2-1)=0\). Получаем кандидаты \(x=0,\frac12,-\frac12\). Прямая подстановка: при \(x=0\) первые и третий арктангенсы взаимно сокращаются; при \(x=\frac12\) сокращаются \(\arctg(-\frac12)\) и \(\arctg\frac12\); при \(x=-\frac12\) сокращаются \(\arctg\frac12\) и \(\arctg(-\frac12)\). Все три значения подходят.

Ответ: \(x=-\frac12,0,\frac12\).