Решить уравнения: (d) $\arcsin x+\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$; (e) $\arctg(1+x)+\arctg(1-x)=\frac{\pi}{4}$; (f) $\arcsin\left(\frac{3x}{5}\right)+\arcsin\left(\frac{4x}{5}\right)=\arcsin x$; (g) $\arccos 4x=\arcsin 3x$; (h) $\arctg 3^x-\arctg 3^{-x}=\frac{\pi}{6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решить уравнения: (d) $\arcsin x+\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$; (e)…$ Фото задания

Решить уравнения: (d) $\arcsin x+\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$; (e) $\arctg(1+x)+\arctg(1-x)=\frac{\pi}{4}$; (f) $\arcsin\left(\frac{3x}{5}\right)+\arcsin\left(\frac{4x}{5}\right)=\arcsin x$; (g) $\arccos 4x=\arcsin 3x$; (h) $\arctg 3^x-\arctg 3^{-x}=\frac{\pi}{6}$.

Accepted Answer

(d) По области определения $|x|\leq 1$. Из равенства следует, что $\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$, поэтому $x=\cos\left(\arcsin\frac{x}{2}\right)=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$. Здесь корень положителен. Тогда $x^2=1-\frac{x^2}{4}$, откуда $x=\frac{2}{\sqrt5}$. Подстановка подтверждает равенство.

(e) При $x=0$ левая часть равна $\frac{\pi}{2}$, поэтому $x\ne0$. Тангенс суммы равен $\frac{(1+x)+(1-x)}{1-(1+x)(1-x)}=\frac{2}{x^2}$. Так как сумма двух арктангенсов лежит в $(-\pi,\pi)$, уравнение с правой частью $\frac{\pi}{4}$ даёт $\frac{2}{x^2}=1$, то есть $x=\pm\sqrt2$. При обоих значениях сумма действительно равна $\frac{\pi}{4}$.

(f) Область определения: $|x|\leq1$. Обозначим $A=\arcsin\frac{3x}{5}$, $B=\arcsin\frac{4x}{5}$, $t=x^2$. Если уравнение верно, то, приравняв косинусы равных углов, получим $\sqrt{(1-\frac{9t}{25})(1-\frac{16t}{25})}-\frac{12t}{25}=\sqrt{1-t}$. Переносим слагаемое и возводим обе неотрицательные части в квадрат: $1-t+\frac{144t^2}{625}=1-t+\frac{24t}{25}\sqrt{1-t}+\frac{144t^2}{625}$. Поэтому $t=0$ или $t=1$. Все соответствующие значения проверяются в исходном уравнении: $x=-1,0,1$.

(g) Из областей определения и диапазонов значений следует $0\leq x\leq\frac14$. Тогда обе части — углы от 0 до $\frac{\pi}{2}$; применяем косинус: $4x=\cos(\arcsin 3x)=\sqrt{1-9x^2}$. После возведения в квадрат $25x^2=1$. С учётом $x\geq0$ получаем $x=\frac15$; это значение подходит.

(h) Положим $a=3^x$. Разность арктангенсов положительна, поэтому $a>1$. По формуле тангенса разности $\tan\bigl(\arctg a-\arctg(1/a)\bigr)=\frac{a-1/a}{2}$. Следовательно, $a-\frac1a=\frac{2}{\sqrt3}$, откуда положительный корень уравнения $a^2-\frac{2}{\sqrt3}a-1=0$ равен $a=\sqrt3$. Значит, $3^x=3^{1/2}$, поэтому $x=\frac12$.

Ответ: (d) $\frac{2}{\sqrt5}$; (e) $\pm\sqrt2$; (f) $-1,0,1$; (g) $\frac15$; (h) $\frac12$.