13. Решить уравнения: (a) $\arctg(2+\cos x)-\arctg(1+\cos x)=\frac{\pi}{4}$; (b) $\arctg(2+\sin x)-\arctg(1+\sin x)=\frac{\pi}{4}$; (c) $\arcsin(2^{x+2})+\arcsin(4\sqrt3\cdot2^x)=\frac{\pi}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 13. Решить уравнения: (a) $\arctg(2+\cos x)-\arctg(1+\cos x)=\frac{\pi}{4}$; (b) \(\arctg(2+\sin x)-\arctg(1+\sin…$ Фото задания

13. Решить уравнения: (a) $\arctg(2+\cos x)-\arctg(1+\cos x)=\frac{\pi}{4}$; (b) $\arctg(2+\sin x)-\arctg(1+\sin x)=\frac{\pi}{4}$; (c) $\arcsin(2^{x+2})+\arcsin(4\sqrt3\cdot2^x)=\frac{\pi}{2}$.

Accepted Answer

(a) Положим $c=\cos x$, где $-1\leq c\leq1$. Разность арктангенсов лежит в $(0,\frac{\pi}{2})$, поэтому приравниваем её тангенс к 1: $\frac{(2+c)-(1+c)}{1+(2+c)(1+c)}=1$. Отсюда $c^2+3c+2=0$, то есть $c=-1$ или $c=-2$. Второе значение невозможно, поэтому $\cos x=-1$, и $x=(2k+1)\pi$, $k\in\mathbb Z$.

(b) Положим $s=\sin x$, где $-1\leq s\leq1$. Аналогично, $\frac{(2+s)-(1+s)}{1+(2+s)(1+s)}=1$, откуда $s^2+3s+2=0$. Допустимо только $s=-1$. Следовательно, $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

(c) Пусть $t=2^x>0$. Оба аргумента арксинуса положительны; сумма углов равна $\frac{\pi}{2}$ тогда и только тогда, когда сумма квадратов их синусов равна 1. Поэтому $(4t)^2+(4\sqrt3t)^2=1$, то есть $64t^2=1$. Так как $t>0$, $t=\frac18=2^{-3}$, откуда $x=-3$. Оба аргумента при этом принадлежат области определения.

Ответ: (a) $x=(2k+1)\pi$; (b) $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$; (c) $x=-3$, где в пунктах (a), (b) $k\in\mathbb Z$.

13. Решить уравнения: (a) \(\arctg(2+\cos x)-\arctg(1+\cos x)=\frac{\pi}{4}\); (b) \(\arctg(2+\sin x)-\arctg(1+\sin x)=\frac{\pi}{4}\); (c) \(\arcsin(2^{x+2})+\arcsin(4\sqrt3\cdot2^x)=\frac{\pi}{2}\).

Ответ: