14. (МГУ-53) Решить систему уравнений \(\begin{cases}\arcsin x=-\arccos y,\\ \cos(3\pi(x+y))=1.\end{cases}\)

Из первого уравнения следует, что \(x\leq0\), \(y\geq0\). Также \(\arccos y=-\arcsin x\), поэтому \(y=\sqrt{1-x^2}\) и \(x^2+y^2=1\). Второе уравнение равносильно \(3\pi(x+y)=2\pi n\), то есть \(x+y=\frac{2n}{3}\), где \(n\in\mathbb Z\). Так как \(x\leq0\), \(y\geq0\) и \(x^2+y^2=1\), сумма \(x+y\) лежит в \([-1,1]\); возможны только \(n=-1,0,1\).

При \(n=0\): из \(x+y=0\) и \(x^2+y^2=1\) получаем \((x,y)=\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)\).

При \(n=1\): сумма координат равна \(\frac23\), а произведение \(xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}2=-\frac5{18}\). С учётом знаков координат получаем \((x,y)=\left(\frac{2-\sqrt{14}}6,\frac{2+\sqrt{14}}6\right)\).

При \(n=-1\): сумма координат равна \(-\frac23\), а произведение снова \(-\frac5{18}\). Поэтому \((x,y)=\left(\frac{-2-\sqrt{14}}6,\frac{-2+\sqrt{14}}6\right)\). Все найденные пары удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: \(\left(-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)\), \(\left(\frac{2-\sqrt{14}}6,\frac{2+\sqrt{14}}6\right)\), \(\left(\frac{-2-\sqrt{14}}6,\frac{-2+\sqrt{14}}6\right)\).