12. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=6, DC=10. Площадь треугольника АВС равна 48. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники ABD и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к основанию AC.

Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как их основания.

\( \frac{S_{ABD}}{S_{BCD}} = \frac{AD}{DC} \).

Также, \( S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} \).

Отношение основания DC к основанию AC равно: \( \frac{DC}{AC} = \frac{10}{AD + DC} = \frac{10}{6 + 10} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \).

Площадь треугольника BCD относится к площади треугольника ABC так же, как их основания DC и AC:

\( \frac{S_{BCD}}{S_{ABC}} = \frac{DC}{AC} \)

\( \frac{S_{BCD}}{48} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

\( S_{BCD} = 48 \times \frac{5}{8} \)

\( S_{BCD} = 6 \times 5 \)

\( S_{BCD} = 30 \).

Ответ: 30.