12 Найдите наименьшее значение функции y = 2 cos x + 13x + 5 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно найти её производную, приравнять к нулю, найти критические точки, а затем сравнить значения функции в критических точках (принадлежащих отрезку) и на концах отрезка.

1. Найдём производную функции \( y = 2 \cos x + 13x + 5 \):
2. \( y' = (2 \cos x + 13x + 5)' = -2 \sin x + 13 \).
3. Приравняем производную к нулю:
4. \( -2 \sin x + 13 = 0 \)
5. \( 13 = 2 \sin x \)
6. \( \sin x = \frac{13}{2} \)
7. Поскольку \( -1 \le \sin x \le 1 \), уравнение \( \sin x = \frac{13}{2} \) не имеет решений. Это означает, что производная \( y' \) никогда не равна нулю.
8. Теперь определим знак производной на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).
9. \( y' = -2 \sin x + 13 \).
10. На отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \), \( \sin x \) принимает значения от \( 0 \) до \( 1 \) (на \( [0; \frac{\pi}{2}] \)) и от \( 1 \) до \( 0 \) (на \( [\frac{\pi}{2}; \pi] \)) и от \( 0 \) до \( -1 \) (на \( [\pi; \frac{3\pi}{2}] \)).
11. Таким образом, \( -2 \sin x \) находится в диапазоне от \( -2 \cdot 1 = -2 \) до \( -2 \cdot (-1) = 2 \).
12. Следовательно, \( y' = -2 \sin x + 13 \) находится в диапазоне от \( -2 + 13 = 11 \) до \( 2 + 13 = 15 \).
13. Значит, \( y' > 0 \) на всём отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).
14. Это означает, что функция \( y \) возрастает на данном отрезке.
15. Наименьшее значение функции будет достигаться на левом конце отрезка, то есть при \( x = 0 \).
16. Вычислим значение функции при \( x = 0 \):
17. \( y(0) = 2 \cos(0) + 13 \cdot 0 + 5 = 2 \cdot 1 + 0 + 5 = 2 + 5 = 7 \).

Ответ: 7