13 а) Решите уравнение sin 2x + √2 sin x = 2 sin (π/2 – x) + √2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Воспользуемся формулой приведения: \( \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x \).
3. Подставим эти формулы в исходное уравнение:
4. \( 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x = 2 \cos x + \sqrt{2} \).
5. Перенесём все члены в одну сторону:
6. \( 2 \sin x \cos x + \sqrt{2} \sin x - 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \).
7. Сгруппируем слагаемые:
8. \( (2 \sin x \cos x - 2 \cos x) + (\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2}) = 0 \).
9. Вынесем общие множители из каждой группы:
10. \( 2 \cos x (\sin x - 1) + \sqrt{2} (\sin x - 1) = 0 \).
11. Вынесем общий множитель \( (\sin x - 1) \):
12. \( (\sin x - 1)(2 \cos x + \sqrt{2}) = 0 \).
13. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
14. \( \sin x - 1 = 0 \) или \( 2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \).
15. Решим первое уравнение:
16. \( \sin x = 1 \)
17. \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
18. Решим второе уравнение:
19. \( 2 \cos x = -\sqrt{2} \)
20. \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
21. \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

б) Найдём корни, принадлежащие отрезку [π; 5π/2]:

1. Проверим корни \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \):
• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \). Эта точка принадлежит отрезку \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \).
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \), что меньше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \), что больше \( \frac{5\pi}{2} \), поэтому не входит в отрезок.
2. Проверим корни \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \):
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi + 8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \).
• Сравним \( \frac{11\pi}{4} \) с границами отрезка: \( \pi = \frac{4\pi}{4} \), \( \frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} \).
• \( \frac{11\pi}{4} > \frac{10\pi}{4} \), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{3\pi}{4} \), что меньше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} \), что больше \( \frac{5\pi}{2} \), поэтому не входит в отрезок.
3. Проверим корни \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \):
• При \( k = 1 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{-3\pi + 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \).
• Сравним \( \frac{5\pi}{4} \) с границами отрезка: \( \pi = \frac{4\pi}{4} \), \( \frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} \).
• \( \frac{4\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4} \le \frac{10\pi}{4} \). Этот корень \( x = \frac{5\pi}{4} \) принадлежит отрезку.
• При \( k = 0 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} \), что меньше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• При \( k = 2 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{-3\pi + 16\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \).
• \( \frac{13\pi}{4} > \frac{10\pi}{4} \), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), \( x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \), \( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \).