12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = x³ + 5/2 x² - 2x

Решение:

1. Находим производную функции:

\[ y' = (x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 2x)' = 3x^2 + \frac{5}{2} \cdot 2x - 2 = 3x^2 + 5x - 2 \]

2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

\[ 3x^2 + 5x - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 \).

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

3. Определяем промежутки монотонности, исследуя знак производной:

Критические точки: \( -2 \) и \( \frac{1}{3} \).

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( y' = 3(-3)^2 + 5(-3) - 2 = 3(9) - 15 - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < \frac{1}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( y' = 3(0)^2 + 5(0) - 2 = -2 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > \frac{1}{3} \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 3(1)^2 + 5(1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определяем точки экстремума:

Точка \( x = -2 \) — локальный максимум (производная меняет знак с '+' на '-').

Точка \( x = \frac{1}{3} \) — локальный минимум (производная меняет знак с '-' на '+').

Найдем значения функции в этих точках:

\[ y(-2) = (-2)^3 + \frac{5}{2}(-2)^2 - 2(-2) = -8 + \frac{5}{2}(4) + 4 = -8 + 10 + 4 = 6 \]\[ y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 + \frac{5}{2}(\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{1}{27} + \frac{5}{18} - \frac{2}{3} \]\[ = \frac{2}{54} + \frac{15}{54} - \frac{36}{54} = \frac{17 - 36}{54} = -\frac{19}{54} \]

Ответ:

• Промежутки монотонности:
• Возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [\frac{1}{3}, +\infty) \).
• Убывает на \( [-2, \frac{1}{3}] \).
• Точки экстремума:
• Локальный максимум в точке \( (-2, 6) \).
• Локальный минимум в точке \( (\frac{1}{3}, -\frac{19}{54}) \).