7. Найдите производную: (√xlnx)'

Решение:

Для нахождения производной используем правило умножения: \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \), где \( u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) и \( v = \ln x \).

1. Найдем производную \( u' \): \( u' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
2. Производная \( v' \) уже известна: \( v' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).
3. Подставляем найденные значения в формулу правила умножения:

\[ (\sqrt{x} \ln x)' = (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' \]\[ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \]\[ = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{x \cdot 2\sqrt{x}} \]\[ = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2x}{2x\sqrt{x}} \]\[ = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \]\[ = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \]

Ответ: \( \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \)