12. Окружности с центрами в точках K и M пересекаются в точках А и В, причём точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и KM перпендикулярны.

Дано:

• Две окружности с центрами K и M.
• Окружности пересекаются в точках A и B.
• Точки K и M лежат по одну сторону от прямой AB.

Доказать:

• Прямая AB перпендикулярна прямой KM (AB ⊥; KM).

Доказательство:

1. Рассмотрим первую окружность с центром K. Точки A и B лежат на этой окружности.
2. Следовательно, KA = KB (как радиусы одной окружности).
3. Это означает, что треугольник KAB является равнобедренным.
4. Рассмотрим вторую окружность с центром M. Точки A и B лежат на этой окружности.
5. Следовательно, MA = MB (как радиусы одной окружности).
6. Это означает, что треугольник MAB является равнобедренным.
7. В равнобедренном треугольнике KAB, KM является медианой, проведенной к основанию AB (так как KM соединяет вершину K с серединой основания AB, что будет доказано ниже).
8. В равнобедренном треугольнике MAB, KM является медианой, проведенной к основанию AB.
9. Рассмотрим треугольники KMA и KMB.
• KA = KB (радиусы первой окружности).
• MA = MB (радиусы второй окружности).
• KM — общая сторона.
10. Следовательно, $$△;KMA = △;KMB$$ по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
11. Из равенства треугольников следует, что ∠AKM = ∠BKM.
12. Теперь рассмотрим треугольник KAB. KM делит угол K пополам, следовательно, KM является биссектрисой.
13. Так как $$△;KAB$$ — равнобедренный, то биссектриса, проведенная из вершины угла при основании, является также и высотой.
14. Следовательно, KM ⊥; AB.
15. Что и требовалось доказать.