13. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону ВС на отрезки ВК и СК. Найдите длину стороны DC, если ВК = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Пусть \( AB = CD = x \) и \( BC = AD = y \).

Биссектриса угла \( D \) делит сторону \( BC \) на отрезки \( BK = 6 \) см и \( CK \). Значит, \( BC = BK + CK = 6 + CK = y \).

В прямоугольнике \( ABCD \) \( ∠ D = 90° \). Биссектриса \( DK \) делит угол \( D \) пополам, то есть \( ∠ CDK = ∠ KDA = 45° \).

Рассмотрим треугольник \( CDK \). \( ∠ C = 90° \), \( ∠ CDK = 45° \). Следовательно, \( ∠ CKD = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Так как \( ∠ CDK = ∠ CKD = 45° \), то треугольник \( CDK \) — равнобедренный. Следовательно, \( CK = CD = x \).

Теперь мы знаем, что \( BC = y = BK + CK = 6 + x \).

Периметр прямоугольника \( P = 2(x + y) \).

Дано: \( P = 48 \) см.

\( 48 = 2(x + (6 + x)) \).

\( 48 = 2(2x + 6) \).

\( 24 = 2x + 6 \).

\( 2x = 24 - 6 = 18 \).

\( x = 9 \) см.

Так как \( x = CD \), то длина стороны \( CD = 9 \) см.

Ответ: 9 см