12. Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен 3 см, а угол между диагоналями — 45°. Чему равна площадь прямоугольника?

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности, поэтому её длина равна \(2R=6\) см. Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними: \(S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi\).

У прямоугольника диагонали равны, поэтому \(S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin45^\circ=18\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}\) см².

Ответ: \(9\sqrt{2}\) см².