12. Решите систему: { x + 2y = -4; 4^(x+y) = 16 }

Решение:

Решим систему уравнений:

1) \( x + 2y = -4 \)

2) \( 4^{x+y} = 16 \)

Шаг 1: Упростим второе уравнение.

Представим 16 как степень 4:

\( 16 = 4^2 \).

Тогда второе уравнение примет вид:

\( 4^{x+y} = 4^2 \).

Приравнивая показатели степеней, получаем:

\( x+y = 2 \).

Шаг 2: Решим полученную систему из двух линейных уравнений.

Теперь система выглядит так:

1) \( x + 2y = -4 \)

3) \( x + y = 2 \)

Выразим \( x \) из третьего уравнения:

\( x = 2 - y \).

Подставим это выражение для \( x \) в первое уравнение:

\( (2 - y) + 2y = -4 \)

\( 2 + y = -4 \)

\( y = -4 - 2 \)

\( y = -6 \).

Шаг 3: Найдем значение x.

Подставим найденное значение \( y = -6 \) в выражение для \( x \):

\( x = 2 - y = 2 - (-6) = 2 + 6 \)

\( x = 8 \).

Шаг 4: Проверим решение.

Подставим \( x=8 \) и \( y=-6 \) в исходные уравнения:

1) \( 8 + 2(-6) = 8 - 12 = -4 \) (Верно)

2) \( 4^{8 + (-6)} = 4^{8-6} = 4^2 = 16 \) (Верно)

Ответ: \( x=8, y=-6 \).