5. Найдите все первообразные функции f(x) = 2x³ - 6x² + x - 1

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 2x^3 - 6x^2 + x - 1 \), нужно проинтегрировать каждый член функции отдельно:

\( F(x) = \int (2x^3 - 6x^2 + x - 1) dx \)

Используем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и свойства линейности интеграла:

\( \int 2x^3 dx = 2 \int x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1 = \frac{1}{2}x^4 + C_1 \)

\( \int -6x^2 dx = -6 \int x^2 dx = -6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + C_2 = -2x^3 + C_2 \)

\( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_3 = \frac{x^2}{2} + C_3 \)

\( \int -1 dx = -1 \cdot x + C_4 = -x + C_4 \)

Складывая все части и объединяя константы интегрирования \( C_1+C_2+C_3+C_4 = C \), получаем:

\( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C \).

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C \).