12. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 11, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания (правильного шестиугольника):

• Сторона основания \( a = 11 \).
• Площадь правильного шестиугольника \( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \).
• \( S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 11^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 121 = \frac{363\sqrt{3}}{2} \).

2. Найдем высоту пирамиды:

• Угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Этот угол — угол между апофемой боковой грани (высотой боковой грани) и радиусом вписанной окружности основания (апофемой основания).
• Апофема правильного шестиугольника \( r_{вп} \) (она же радиус вписанной окружности) равна \( a \frac{\sqrt{3}}{2} \).
• \( r_{вп} = 11 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11\sqrt{3}}{2} \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), апофемой основания (\( r_{вп} \)) и апофемой боковой грани (\( h_{бок} \)). Угол между боковой гранью и основанием (\( 45^{\circ} \)) находится между \( r_{вп} \) и \( h_{бок} \).
• В этом треугольнике \( \tan(45^{\circ}) = \frac{H}{r_{вп}} \).
• Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то \( H = r_{вп} \).
• \( H = \frac{11\sqrt{3}}{2} \).

3. Найдем объем пирамиды:

• \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H \)
• \( V = \frac{1}{3} \times \frac{363\sqrt{3}}{2} \times \frac{11\sqrt{3}}{2} \)
• \( V = \frac{1}{3} \times \frac{363 \times 11 \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3})}{2 \times 2} \)
• \( V = \frac{1}{3} \times \frac{363 \times 11 \times 3}{4} \)
• Сокращаем 3 в числителе и знаменателе:
• \( V = \frac{363 \times 11}{4} \)
• \( V = \frac{3993}{4} = 998.25 \)

Ответ: 998.25