6. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √147, а высота равна 4.

Решение:

Правильная шестиугольная призма описана около цилиндра. Это значит, что основание призмы — правильный шестиугольник, в который вписан круг (основание цилиндра).

1. Найдем радиус основания призмы:

• Радиус основания цилиндра \( r_{цил} =
  \sqrt{147} \).
• Так как цилиндр вписан в призму, то радиус основания цилиндра равен апофеме правильного шестиугольника.
• Апофема правильного шестиугольника \( a = \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3} \)
• Сторона правильного шестиугольника \( s \) связана с апофемой формулой \( a = \frac{s \sqrt{3}}{2} \).
• \( 7\sqrt{3} = \frac{s \sqrt{3}}{2} \)
• Умножим обе части на 2: \( 14\sqrt{3} = s \sqrt{3} \)
• Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \( s = 14 \)

2. Найдем площадь боковой поверхности призмы:

• Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} = P_{осн} \times h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы.
• Высота призмы равна высоте цилиндра: \( h = 4 \).
• Периметр правильного шестиугольника \( P_{осн} = 6s = 6 \times 14 = 84 \).
• \( S_{бок} = 84 \times 4 = 336 \)

Ответ: 336