8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 45. Найдите объём шара.

Решение:

Пусть \( R \) — радиус шара, \( r \) — радиус основания конуса, \( h \) — высота конуса.

По условию, \( r = R \).

Объем конуса \( V_{конус} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \). По условию, \( V_{конус} = 45 \), значит \( \frac{1}{3} \pi R^2 h = 45 \).

Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Это равнобедренный треугольник (конус) вписанный в окружность (шар). Радиус основания конуса \( r \) совпадает с радиусом шара \( R \). Высота конуса \( h \) может быть разной, но если радиус основания конуса равен радиусу шара, то это возможно только в том случае, если вершина конуса находится на экваторе шара, а основание конуса проходит через центр шара. Или наоборот. В данном случае, если радиус основания конуса равен радиусу шара, то высота конуса, проходящая через центр шара, будет равна радиусу шара.

\( h = R \).

Подставим \( h = R \) в формулу объема конуса:

• \( \frac{1}{3} \pi R^2 (R) = 45 \)
• \( \frac{1}{3} \pi R^3 = 45 \)
• \( \pi R^3 = 45 \times 3 = 135 \)

Объем шара \( V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 \). Мы знаем, что \( \pi R^3 = 135 \).

• \( V_{шар} = \frac{4}{3} \times 135 \)
• \( V_{шар} = 4 \times \frac{135}{3} = 4 \times 45 = 180 \)

Ответ: 180