12. В единичном кубе A…D₁ найдите расстояние от точки B до прямой DA₁.

Возьмём координаты A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A₁(0,0,1). Направляющий вектор DA₁ равен (0,−1,1), а вектор DB равен (1,−1,0). Расстояние от B до прямой DA₁:

\(d=\frac{|\overrightarrow{DB}\times\overrightarrow{DA₁}|}{|\overrightarrow{DA₁}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{2}\).